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线性代数

提示

参考链接：

线性代数极简入门

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师

一、基础知识​

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线性相关与线性无关：向量组中的任一向量都不能被其它向量线性表示，就说向量组线性无关；否则就是线性相关。

矩阵转置：将矩阵的行和列互相交换

矩阵求逆：对于方阵A，若存在方阵B使得AB=BA=单位方阵I，则方阵B为方阵A的逆矩阵，记为A−1A^{-1}

二、面试常考问题​

  1. 线性代数中的初等行变换。

    1. 交换两行
    2. 用非零常数乘以某一行
    3. 用一行的倍数加到另一行上

  2. 如何理解矩阵的秩。

    矩阵的秩是指矩阵的列空间（或行空间）的维数，简而言之是矩阵中所有非零行（或列）向量构成的集合所组成的最大线性无关组的向量个数。

    提示

    宋浩八字**：非零子式的最高阶数**

    任意矩阵的行秩都等于列秩。

  3. 矩阵的秩与线性方程组解的关系。

    对于n元线性方程组而言：

    1. 当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且秩等于n时，有唯一解

    2. 当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且秩大于n时，有无穷多解

    3. 当系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩时，无解

      提示

      当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，说明系数矩阵中的某一列向量（或行向量）可以被其他列向量（或行向量）线性表示，此时该行不能提供额外的线性独立信息

  4. 简述向量组线性无关的含义。

    含义：若一个向量组是线性无关的，则该向量组中的每个向量都不能表示成其他向量的线性组合。

    意义：如果一个向量组线性无关，那么该向量组所张成的空间就是一个最小维度的向量空间，并且该向量空间中的任何向量都可由这些向量线性组合表示。

    判定方法：如果一个向量组中的所有向量都不可以由其他向量线性组合得到，则称该向量组为线性无关的。否则，如果存在某个向量可以表示成其他向量的线性组合，则该向量组就不是线性无关的。

  5. 解释正定矩阵以及半正定矩阵。

  6. 简述特征值的含义。

    特征值描述了矩阵在特定方向（特征向量方向）上的缩放因子，特征向量表示矩阵在这个特定方向上的不变性。

  7. 简述矩阵分解的物理意义。

    矩阵分解是将一个矩阵表示为一些特定形式的矩阵乘积的过程。

    矩阵分解的种类以及物理意义：

    • LU分解：将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。物理意义包括解线性方程组、计算矩阵的行列式和逆矩阵等。
    • QR分解：将矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。物理意义包括最小二乘问题、矩阵的特征值计算等。
    • 特征值分解：将矩阵分解为一个特征向量矩阵和一个对角矩阵的乘积。物理意义包括矩阵的幂、指数和对称矩阵的对角化等。
    • 奇异值分解（SVD）：将矩阵分解为一个正交矩阵、一个对角矩阵和一个正交矩阵的乘积。物理意义包括降维、矩阵逼近和图像压缩等。